Question

已知，設(shè)曲線在點處的切線為。

（1）求實數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，其中。

求證：當(dāng)時，。

 

Answer 1

（1）；（2）見解析；

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在處的切線斜率為0及聯(lián)立方程解得；（2）將代入得的解析式，解析式中含有參數(shù)，所以對進(jìn)行分類討論，再利用求導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)性，求出在的最小值和最大值即可；

試題解析：【解析】
（1）， 2分

依題意，且。 3分

所以。

解得。 4分

（2）由（1）得。

所以。

。 6分

當(dāng)時，由得，由得。

所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，是的極小值點。8分

當(dāng)，時，，

所以的最小值為，最大值為。 9分

設(shè)，則，

因為，所以。

所以在上單調(diào)遞減，

所以，。 11分

所以，當(dāng)，時，。

又因為，， 12分

。 13分

所以當(dāng)時，。

綜上，當(dāng)，時，。14分

考點：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、運用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；3、運用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)最值的應(yīng)用；