函數(shù)f（x）=ax2+2x+1，若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是
a≥0
a≥0
．
分析：要使函數(shù)f（x）=ax2+2x+1對任意x∈[1，+∞），都有f（x）＞0恒成立，a有可能等于0或大于0，然后分這兩種情況討論，a=0時為一次函數(shù)，顯然成立；a＞0時，又分判別式小于0和大于等于0兩種情況，特別是判別式大于0時，需借助于二次函數(shù)的對稱軸及f（1）的符號列式求解．
解答：解：當a=0時，函數(shù)f（x）=ax2+2x+1化為f（x）=2x+1，滿足對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立；
當a≠0時，要使對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
則
a＞0
△=22-4a＜0
①
或
a＞0
△=22-4a≥0
-
1
a
≤1
f(1)＞0
，即
a＞0
4-4a≥0
-
1
a
≤1
a+3＞0
②
解①得，a＞1．
解②得，0＜a≤1．
綜上，對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立的實數(shù)a的取值范圍是a≥0．
故答案為a≥0．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了利用“三個二次”的結合求解參數(shù)問題，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b是常數(shù)，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最大值時，寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，g（x）滿足
43
f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相應x值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）當a=
1
4
時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：(1+
2
2×3
)×(1+
4
3×5
)×(1+
8
5×9
)…(1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
)＜e（其中，n∈N*，e是自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)a，b，c（a≠0）滿足
a
m+2
+
b
m+1
+
c
m
=0(m＞0)，對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，af(
m
m+1
)與0的大小關系是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b為實數(shù)），x∈R，F(x)=
f(x)(x＞0)
-f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否大于零．

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