設(shè)a、b、c≥0，且a+b+c=3，求證：a2+b2+c2+abc≥.

思路分析：先運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，設(shè)a≤b≤c，則a≤1＜，再使用基本不等式可以避開(kāi)討論，作差比較作適當(dāng)放縮.

證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1＜.∴a-＜0.

又∵()2≥bc，即()2≥bc，也即bc(a-)≥(3-a)2(a-).

∴左邊=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+abc

=9-2a(b+c)+bc(a-)≥9-2a(3-a)+(3-a)2(a-)

=9+(3-a)［(3-a)(a-)-a］=9-(3-a)［a2+a+4］

=9-(-a3+2a2-a+12)=+a(a2-2a+1)=+a(a-1)2≥,

∴a2+b2+c2+abc≥.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，則不等式a3+b3+c3≥3abc成立的一個(gè)充要條件是
a+b+c≥0
a+b+c≥0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的命題有（　　）個(gè)．
（1）將函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
（2）函數(shù)y=sin2x+cos2x在x∈[0，
π
2
]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，
π
8
]；
（3）設(shè)A、B、C∈(0，
π
2
)且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A等于-
π
3
；
（4）方程sin2x+2sinx+a=0有解，則a的取值范圍是[-3，1]．
（5）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=
x
2
的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•西城區(qū)一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．對(duì)于A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）∈Sn，定義
AB
=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan）（λ∈R）；A與B之間的距離為d(A，B)=
n
i=1
|ai-bi|．
（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)A=（1，2，1，2，a5），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a5；
（Ⅱ）（�。┳C明：若A，B，C∈Sn，且?λ＞0，使
AB
=λ
BC
，則d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）設(shè)A，B，C∈Sn，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使
AB
=λ
BC
？說(shuō)明理由；
（Ⅲ）記I=（1，1，…，1）∈Sn．若A，B∈Sn，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

[選做題]
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）與（-2，1）分別變換成點(diǎn)（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ=3上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=2的距離為d，求d的最大值．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c為正數(shù)且a+b+c=1，求證：(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2+(c+
1
c
)2≥
100
3
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案