Question

（2013•西城區(qū)一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．對于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定義

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A與B之間的距離為d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）當(dāng)n=5時，設(shè)A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a₅；
（Ⅱ）（�。┳C明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，則d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）設(shè)A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使

AB

=λ

BC

？說明理由；
（Ⅲ）記I=（1，1，…，1）∈S_n．若A，B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3），利用d（A，B）=

5

i=1

|ai-bi|=7即可求得求a₅；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n），依題意可求得 b_i-a_i與c_i-b_i（i=1，2，…，n）同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)，從而可證得結(jié)論；
（ⅱ）設(shè)A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）不一定?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，可舉反例，取A=（1，1，1，…，1），B=（1，2，1，1，…，1），C（2，2，2，1，1，…，1），即可；
（Ⅲ）依題意，設(shè)b_i-a_i（i=1，2，…，n）中有m（m≤n）項為非負(fù)數(shù)，n-m項為負(fù)數(shù)．不妨設(shè)i=1，2，…，m時b_i-a_i≥0；i=m+1，m+2，…，n時，b_i-a_i＜0，由d（I，A）=d（I，B）=p，可求得d（A，B）=2p．

解答：（Ⅰ）解：當(dāng)n=5時，由d（A，B）=

5

i=1

|ai-bi|=7，
得|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|a₅-3|=7，即|a₅-3|=2．
由a₅∈N^*，得 a₅=1，或a₅=5．
（Ⅱ）（ⅰ）證明：設(shè)A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）．
因為?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，
所以?λ＞0，使得 （b₁-a₁，b₂-a₂，…，b_n-a_n）=λ（（c₁-b₁，c₂-b₂，…，c_n-b_n），
即?λ＞0，使得 b_i-a_i=λ（c_i-b_i），其中i=1，2，…，n．
所以 b_i-a_i與c_i-b_i（i=1，2，…，n）同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)．
所以d（A，B）+d（B，C）=

n

i=1

|a_i-b_i|+

n

i=1

|b_i-c_i|=

n

i=1

（|b_i-a_i|+|c_i-b_i|）=

n

i=1

|c_i-a_i|=d（A，C）．
（ⅱ）解：設(shè)A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C），此時不一定?λ＞0，使得

AB

=λ

BC

．
反例如下：取A=（1，1，1，…，1），B=（1，2，1，1，…，1），C（2，2，2，1，1，…，1），
則 d（A，B）=1，d（B，C）=2，d（A，C）=3，顯然d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．
因為

AB

=（0，1，0，0，…，0）

BC

=（1，0，1，0，0，…，0），
所以不存在λ＞0，使得

AB

=λ

BC

．．
（Ⅲ）因為d（A，B）=

n

i=1

|a_i-b_i|，
設(shè)b_i-a_i（i=1，2，…，n）中有m（m≤n）項為非負(fù)數(shù)，n-m項為負(fù)數(shù)．不妨設(shè)i=1，2，…，m時b_i-a_i≥0；i=m+1，m+2，…，n時，b_i-a_i＜0．
所以d（A，B）=

n

i=1

|a_i-b_i|=[（b₁+b₂+…+b_m）-（a₁+a₂+…+a_m）]+[（a_m+1+a_m+2+…+a_n）-（b_m+1+b_m+2+…+b_n）]，
因為 d（I，A）=d（I，B）=p，
∴

n

i=1

 （a_i-1）=

n

i=1

（b_i-1），整理得

n

i=1

ai=

n

i=1

bi．
所以d（A，B）=

n

i=1

|a_i-b_i|=2[b₁+b₂+…+b_m-（a₁+a₂+…+a_m）]．
因為 b₁+b₂+…+b_m=（b₁+b₂+…+b_n）-（b_m+1+b_m+2+…+b_n）≤（p+n）-（n-m）×1=p+m；
又 a₁+a₂+…+a_m≥m×1=m，
所以 d（A，B）=2[b₁+b₂+…+b_m-（a₁+a₂+…+a_m）]≤2[（p+m）-m]=2p．即 d（A，B）≤2p．…（12分）
對于 A=（1，1，…，1，p+1），B=（p+1，1，1，…，1），有 A，B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，d（A，B）=2p．
綜上，d（A，B）的最大值為2p．

點評：本題考查絕對值三角不等式，考查數(shù)列的求和，突出考查構(gòu)造思想與舉反例，考查抽象思維與創(chuàng)新思維能力考查推理轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．