Question

（理科）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）先猜想出{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)a_n+1=a_n²-2na_n+2，利用遞推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）總結(jié)出規(guī)律求出a_n，然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）由條件an+1=

a

2 n

-2nan+2，依次得a2=

a

2 1

-2a1+2=5，a3=

a

2 2

-4a2+2=7，a4=

a

2 3

-6a3+2=9，…（6分）
（2）由（1），猜想a_n=2n+1．…（7分）
下用數(shù)學(xué)歸納法證明之：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3=2×1+1，猜想成立；        …（8分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即有a_k=2k+1，…（9分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有ak+1=

a

2 k

-2kak+2=ak(ak-2k)+2=(2k+1)•1+2=2(k+1)+1，
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，…（13分）
綜合①②知，數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=2n+1．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)，命題成立必須用上歸納假設(shè)，屬于中檔題．