Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1•a_n+a_n+1-a_n=0
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•a_n+2，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）求證：

1

3

≤Sn＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）兩邊同除以a_na_n+1，即得

1

an+1

-

1

an

=1，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得證，且求出a_n；
（Ⅱ）運用裂項相消求和，運用

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），即可得到；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得到數(shù)列{S_n}為遞增數(shù)列，且得到S_n＜

3

4

，即可得證．

解答： （Ⅰ）證明：∵a_n+1•a_n+a_n+1-a_n=0，
∴1+

1

an

-

1

an+1

=0
即

1

an+1

-

1

an

=1
∴{

1

an

}為等差數(shù)列，

1

a1

=1，
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=

1

n

；
（Ⅱ）解：∵b_n=

1

n(n+2)

，
∴S_n=

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

；
（Ⅲ）證明：∵

2n+3

2(n+1)(n+2)

＞0，
∴S_n＜

3

4

，
∵S_n-S_n-1=b_n＞0，
∴{S_n}為遞增數(shù)列，
∴S_n≥S₁=

1

3

，
∴

1

3

≤Sn＜

3

4

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項和求和，考查等差數(shù)列的通項求法，以及裂項相消求和方法，同時考查數(shù)列的單調(diào)性，是一道綜合題．