Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，a∈R．
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）若函數(shù)f（x）的最小時(shí)為g（a），令m=g（a），求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；
（2）若函數(shù)f（x）的最小時(shí)為g（a），令m=g（a），求m的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=0，則f（x）=x²+|x|+1，
f（-x）=（-x）²+|-x|+1=x²+|x-a|+1=f（x），此時(shí)f（x）為偶函數(shù)，
若a≠0，∵f（0）=1+|a|≠0，∴f（x）不是奇函數(shù)，
∵f（1）=2+|1-a|，f（-1）=2+|a+1|，
∴f（-1）≠f（1），則函數(shù)不是偶函數(shù)；
即a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
a＜

1

2

，函數(shù)f（x）在（-∞，a]上單調(diào)遞減．
從而函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為g（a）=f（a）=a²+1；此時(shí)m≥a²+1，
a≥

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，a]上的最小值為g（a）=f（

1

2

）=

3

4

+a，且f（

1

2

）≤f（a）；
當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
a≤-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為g（a）=f（-

1

2

）=

3

4

-a，且f（-

1

2

）≤f（a）；此時(shí)m≥

3

4

-a，
a＞-

1

2

，函數(shù)f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的最小值為g（a）=f（a）=a²+1．此時(shí)m≥a²+1．
綜上得，a≤-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為

3

4

-a；
當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為a²+1；
a≥-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為

3

4

+a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查了絕對(duì)值函數(shù)的對(duì)絕對(duì)值的討論及二次函數(shù)在定義域下求最值綜合性較強(qiáng)，難度較大．