Question

【題目】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交軸于、兩點(diǎn)，記、的面積分別為、.

（1）求證：；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可知，直線的斜率不為，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用三角形的面積公式與弦長(zhǎng)公式可證得結(jié)論成立；

（2）求得直線的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得的最小值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的最大值.

（1）由已知可得、，

若直線的斜率為，則該直線與拋物線不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，

所以，直線的斜率不可能為，故可設(shè)，

聯(lián)立，

設(shè)、，則，，

所以，

而，

故；

（2）直線，可得，同理，

所以

，

所以，所以的最大值為.