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已知函數f（x）對任意的實數m、n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且當x＞0時，有f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上為增函數；
（2）若f（4）=5，解關于x的不等式f（x2+x-4）＜3；
（3）若關于x的不等式f（ax-2）+f（x-x2）＜2恒成立，求實數a的取值范圍．
分析：（1）根據函數單調性的定義進行證明，將f（x2）變形成f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1＞1+f（x1）-1=f（x1），從而得到函數的單調性；
（2）將3轉化成f（2），然后利用函數的單調性去掉“f”，解不等式即可；
（3）將f（ax-2）+f（x-x2）＜2轉化成f（ax-2）+f（x-x2）-1＜1，然后利用f（m+n）=f（m）+f（n）-1可得f（ax-2+x-x2）＜f（0），最后根據單調性建立不等關系，從而求出所求．
解答：（1）證明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，∴x2-x1＞0，
∵當x＞0時，有f（x）＞1，
∴f（x2-x1）＞1，
∵f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1＞1+f（x1）-1=f（x1），
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在R上為增函數；
（2）∵f（4）=5=f（2）+f（2）-1，
∴f（2）=3，
∴f（x2+x-4）＜3即f（x2+x-4）＜f（2），
∵f（x）在R上為增函數，
∴x2+x-4＜2，
∴-3＜x＜2；
（3）令m=n=0，
∴f（0）=2f（0）-1，
∴f（0）=1，
∵f（ax-2）+f（x-x2）＜2即 f（ax-2）+f（x-x2）-1＜1，
∴f（ax-2+x-x2）＜f（0），
由①知 ax-2+x-x2＜0恒成立，
∴x2-（a+1）x+2＞0恒成立，
∴△=（a+1）2-4×2＜0，
∴-2
2
-1＜a＜2
2
-1．
點評：本題主要考查了抽象函數，及其函數的單調性和不等式的解法，著重考查了函數的簡單性質和函數恒成立問題等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數k、b應滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數f（x）是偶函數；
②任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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