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若實數x、y、m滿足|x-m|<|y-m|,則稱x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范圍;
(2)對任意兩個不相等的正數a、b,證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
;
(3)已知函數f(x)的定義域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值.寫出函數f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性(結論不要求證明).
分析:(1)根據新定義得到不等式|x2-1|<3,然后求出x的范圍即可.
(2)對任意兩個不相等的正數a、b,依據新定義寫出不等式,利用作差法證明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)依據新定義寫出函數f(x)的解析式,f(x)=
1+sinxx∈(2kπ-π,2kπ)
1-sinxx∈(2kπ,2kπ+π)
 =1-|sinx|,x≠kπ

直接寫出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性,即可.
解答:解:(1)|x2-1|<3,0≤x2<4,-2<x<2
x∈(-2,2);
(2)對任意兩個不相等的正數a、b,
a2b+ab2>2ab
ab
a3+b3>2ab
ab
,
因為|a2b+ab2-2ab
ab
|-|a3+b3-2ab
ab
|=-(a+b)(a-b)2<0
,
所以|a2b+ab2-2ab
ab
|<|a3+b3-2ab
ab
|
,
即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
;
(3)f(x)=
1+sinxx∈(2kπ-π,2kπ)
1-sinxx∈(2kπ,2kπ+π)
 =1-|sinx|,x≠kπ
,
k∈Z,f(x)是偶函數,f(x)是周期函數,
最小正周期T=p,函數f(x)的最小值為0,
函數f(x)在區(qū)間[kπ-
π
2
,kπ)
單調遞增,
在區(qū)間(kπ,kπ+
π
2
]
單調遞減,k∈Z.
點評:本題是新定義題目,直線審題是能夠解題的根據,新定義問題,往往是結合相關的知識,利用已有的方法求出所求結果.注意轉化思想的應用.
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(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)
(-∞,-
2
)∪(
2
,+∞)

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ab

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