Question

如圖，在矩形ABCD中，，以A為圓心1為半徑的圓與AB交于E（圓弧DE為圓在矩形內(nèi)的部分）
（1）在圓弧DE上確定P點(diǎn)的位置，使過(guò)P的切線l平分矩形ABCD的面積；
（2）若動(dòng)圓M與滿足題（1）的切線l及邊DC都相切，試確定M的位置，使圓M為矩形內(nèi)部面積最大的圓．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)P（x，y）則B，C坐標(biāo)可知，進(jìn)而求得圓弧DE的方程和切線l的方程，設(shè)l與AB、CD交于F、G，則F，G的坐標(biāo)可表示出，進(jìn)而根據(jù)l平分矩形ABCD面積，可知求得x和y的關(guān)系式，同時(shí)與圓弧的方程聯(lián)立求得x和y的，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．
（2）根據(jù)（1）中切線的方程，當(dāng)滿足題意的圓M面積最大時(shí)必與邊BC相切，設(shè)圓M與直線l、BC、DC分別切于R、Q、T，則MR=MT=MQ=r（r為圓M的半徑）．進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得求得r的值，進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)P（x，y），，D（0，1），
圓弧DE的方程x²+y²=1（x≥0，y≥0）
切線l的方程：xx+yy=1
設(shè)l與AB、CD交于F、G可求F（），G（），
∵l平分矩形ABCD面積，
∴①
又x²+y²=1②解①、②得：
，∴；
（2）由題（Ⅰ）可知：切線l的方程：，
當(dāng)滿足題意的圓M面積最大時(shí)必與邊BC相切，
設(shè)圓M與直線l、BC、DC分別切于R、Q、T，
則MR=MT=MQ=r（r為圓M的半徑）．∴M，
由（舍），．
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的綜合運(yùn)用．考查了考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．