如圖,在矩形ABCD中,AB=3
3
,BC=3,沿對角線BD將BCD折起,使點(diǎn)C移到點(diǎn)C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
(1)求證:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.
分析:(1)根據(jù)已知的線面垂直,可以得到DA⊥C′O,再根據(jù)DA⊥AB,即可證明DA⊥面C′AB,從而證得BC′⊥DA,利用直線與平面垂直的判定定理,即可證得BC′⊥面ADC′;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,結(jié)合二面角的平面角的定義,即可確定∠AC′D即為二面角A-BC′-D的平面角,在直角三角形DAC′中,即可求得二面角A-BC′-D的正弦值.
解答:解:(1)由題意可得,C′O⊥平面ABD,
∵DA?平面ABD,
∴C′O⊥DA,
由題意可知,∠DAB=90°,即DA⊥AB,且C′O∩AB=O,
∴DA⊥平面C′AB,又BC′?平面C′AB,
∴BC′⊥DA,
又∠BC′D=∠BCD=90°,即BC′⊥C′D,且C′D∩DA=D,
∴BC′⊥平面ADC′;
(2)根據(jù)(1)可知,BC′⊥平面ADC′,
∵AC′?平面ADC′,DC′?平面ADC′,
∴BC′⊥AC′,BC′⊥DC′,
∴∠AC′D即為二面角A-BC′-D的平面角,
又由(1)知,DA⊥平面C′AB,
∵AC′?平面C′AB,
∴DA⊥AC′,即△DAC′為直角三角形,
在直角三角形DAC′中,DA=BC=3,DC′=DC=AB=3
3
,
∴sin∠AC′D=
DA
DC′
=
3
3
3
=
3
3

故二面角A-BC′-D的正弦值為
3
3
點(diǎn)評:本題考查線面關(guān)系,直線與平面垂直的判定定理以及二面角的求解等基礎(chǔ)知識,考查思維能力、空間想象能力,求解二面角的問題,關(guān)鍵在于如何正確的找到二面角的平面角.屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點(diǎn),EP⊥平面ABCD.
(1) 求證:AQ∥平面CEP;
(2) 求證:平面AEQ⊥平面DEP.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點(diǎn),現(xiàn)將△AED沿DE折起,使點(diǎn)A到點(diǎn)P處,滿足PB=PC,設(shè)M、H分別為PC、DE的中點(diǎn).
(1)求證:BM∥平面PDE;
(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)N,使BC⊥平面PHN?試證明你的結(jié)論;
(3)求△PBC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分別是AB的兩個(gè)三等分點(diǎn),AC,DF相交于點(diǎn)G,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系:
(1)若動點(diǎn)M到D點(diǎn)距離等于它到C點(diǎn)距離的兩倍,求動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
(2)證明:E G⊥D F.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=
12
BC,E為AD的中點(diǎn),將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求證:CE⊥AB;
(2)在線段BC上找一點(diǎn)F,使DF∥平面ABE.

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