(1)解:∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24947.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24948.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24949.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24950.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24951.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24952.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24953.png)
;
(2)證明:由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24954.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24955.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24956.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24957.png)
,即a
n-a
n+1=a
na
n+1,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/7044.png)
∴數(shù)列{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
}是以4為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24958.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24959.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24960.png)
;
(3)解:由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24959.png)
,
∴S
n=a
1a
2+a
2a
3+…+a
na
n+1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24961.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24962.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24963.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24964.png)
,
要使4λS
n<b
n恒成立,只需(λ-1)n
2+(3λ-6)n-8<0恒成立,
設(shè)f(n)=(λ-1)n
2+3(λ-2)n-8
當(dāng)λ=1時,f(n)=-3n-8<0恒成立,
當(dāng)λ>1時,由二次函數(shù)的性質(zhì)知f(n)不滿足對于任意n∈N
*恒成立,
當(dāng)λ<l時,對稱軸n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24965.png)
f(n)在[1,+∞)為單調(diào)遞減函數(shù).
只需f(1)=(λ-1)n
2+(3λ-6)n-8=(λ-1)+(3λ-6)-8=4λ-15<0
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24966.png)
,∴λ≤1時4λS
n<b
n恒成立.
綜上知:λ≤1時,4λS
n<b
n恒成立.
分析:(1)由給出的
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24947.png)
,循環(huán)代入a
n+b
n=1和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24967.png)
可求解a
2,a
3;
(2)由a
n+b
n=1得a
n+1+b
n+1=1,結(jié)合
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24967.png)
,去掉b
n與b
n+1得到a
n+1與a
n的關(guān)系式,整理變形后可證得數(shù)列{
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6695.png)
}是以4為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,求出其通項(xiàng)公式后即可求得數(shù)列{a
n}和{ b
n}的通項(xiàng)公式;
(3)首先利用裂項(xiàng)求和求出S
n,代入4λS
n<b
n,通過對λ分類討論,結(jié)合二次函數(shù)的最值求使4λS
n<b
n恒成立的實(shí)數(shù)λ的值.
點(diǎn)評:本題考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了數(shù)列的裂項(xiàng)求和,考查了數(shù)列的函數(shù)特性,訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法,解答過程中注意分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬中檔題.