Question

已知曲線x²+2y²+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點D（0，2）的直線與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設(shè)

DM

=λ

MN

，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）原曲線即為（x+2）²+2（y+1）²=2，按向量a=（2，1）平移即是把函數(shù)向右平移2個單位，向上平移1個單位后得到曲線C．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

DM

=λ

MN

，可得

x1= λx2 1+λ y1= 2+λy2 1+λ .

由點M、N在橢圓x²+2y²=2上，代入方程整理可得即y₂=

2λ-3

4λ

．結(jié)合橢圓的性質(zhì)可知-1≤y₂≤1，代入可求λ的取值范圍．

解答：解：（1）原曲線即為（x+2）²+2（y+1）²=2，則平移后的曲線C為x²+2y²=2，
即

x2

2

+y²=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x1= λx2 1+λ y1= 2+λy2 1+λ .

由于點M、N在橢圓x²+2y²=2上，則

x12+2y12=2 x22+2y22=2

即

( λx2 1+λ )2+2( 2+λy2 1+λ )2=2 x22+2y22=2.

消去x₂²得，2λ²+8λy₂+8=2λ²+4λ+2，
即y₂=

2λ-3

4λ

．
∵-1≤y₂≤1，
∴-1≤

2λ-3

4λ

≤1．
又∵λ＞0，故解得λ≥

1

2

．
故λ的取值范圍為[

1

2

，+∞）．
思考討論本題：若設(shè)出直線l的方程y=kx+2，然后與x²+2y²=2聯(lián)立，利用韋達定理能求解嗎？（不要忘記討論斜率不存在的情況）讀者可嘗試一下．

點評：本題主要考查了曲線的平移，向量共線的坐標表示，直線與橢圓的相交關(guān)系的綜合應(yīng)用，試題的思路比較清晰，但需要考生具備一定的運算能力及邏輯推理能力．