Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為角的頂點(diǎn)，x軸正半軸為始邊的角α、β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是$\frac{4}{5}$，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用條件求得A、B的坐標(biāo)，再利用兩角差的余弦公式求得cos（α-β）的值．
（2）根據(jù) $\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，計(jì)算求的結(jié)果．

解答 解：由題意可知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\sqrt{{1-（\frac{4}{5}）}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，∴點(diǎn)A（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-$\sqrt{{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴點(diǎn)B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosβ=-$\frac{1}{2}$，
（1）cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$•（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．
（2）因?yàn)?\overrightarrow{OA}$=（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），$\overrightarrow{OB}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）， 故$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$夾角的余弦值cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{4}{5}$•（-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，屬于中檔題．