Question

已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，-1），拋物線C：y²=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M，P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q．
（I）若向量與的夾角為，求△POM的面積；
（Ⅱ）證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)點(diǎn)p，M，A三點(diǎn)共線進(jìn)而可知AM和PM的斜率相等求得y₁y₂=4進(jìn)而根據(jù)向量積的運(yùn)算和兩向量的夾角，求得的值，進(jìn)而利用三角形面積公式求得三角形POM的面積．
（II）設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)M，B，Q共線，利用BQ和QM的斜率相等利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得y₁y₃+y₁+y₃+4=0．，把y₁y₂=4代入求得y₂和y₃的關(guān)系式，表示出PQ的斜率，進(jìn)而可表示出直線PQ的方程，進(jìn)而利用4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0求得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1），進(jìn)而可推斷出直線PQ過定點(diǎn)．
解答：解：（I）設(shè)點(diǎn)p，M，A三點(diǎn)共線，∴k_AM=k_PM，
即，即，∴y₁y₂=4，
∴．
∵向量與的夾角為45°，∴，
∴．
（II）設(shè)點(diǎn)，y₃），
∵M(jìn)，B，Q三點(diǎn)共線，∴k_BQ=k_QM，
即，即，
∴（y₃+1）（y₁+y₃）=y₃²-4，即y₁y₃+y₁+y₃+4=0．
∵y₁y₂=4，即，∴，
即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0．（*）∵，
∴直線PQ的方程是，
即（y-y₂）（y₂+y₃）=4x-y₂²，即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x．
由（*）式，-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，代入上式，得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1）．
由此可知直線PQ過定點(diǎn)E（1，-4）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了學(xué)生分析推理和基本的運(yùn)算能力．