(本題滿分12分) 已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù);
(2)若函數(shù)在處取得極值,對,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當且時,試比較的大。
(1)當時在上沒有極值點,
當時,在上有一個極值點(2)(3)當0<x<e時,當e<x<e2時
解析試題分析:(Ⅰ),當時,在上恒成立,函數(shù) 在單調(diào)遞減,∴在上沒有極值點;
當時,得,得,
∴在上遞減,在上遞增,即在處有極小值.
∴當時在上沒有極值點,
當時,在上有一個極值點.-----3分
(Ⅱ)∵函數(shù)在處取得極值,∴,
∴,---------5分
令,可得在上遞減,在上遞增,
∴,即.------- 7分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知在(0,e2)上單調(diào)減
∴0<x<y<e2時, 即
當0<x<e時,1-lnx>0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴
當e<x<e2時,1-lnx<0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴-----12分
考點:利用函數(shù)的導數(shù)求極值最值單調(diào)區(qū)間
點評:不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。
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(本小題滿分10分)設,若方程有兩個均小于2的不同的實數(shù)根,則此時關于的不等式是否對一切實數(shù)都成立?并說明理由。
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(本小題滿分12分)
已知函數(shù)是奇函數(shù):
(1)求實數(shù)和的值;
(2)證明在區(qū)間上的單調(diào)遞減
(3)已知且不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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定義:若函數(shù)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù),有,則稱是的一個不動點. 已知函數(shù).
(1)當,時,求函數(shù)的不動點;
(2)若對任意的實數(shù)b,函數(shù)恒有兩個不動點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數(shù)的不動點,且線段AB的中點C在函數(shù)的圖象上,求實數(shù)b的最小值.
(參考公式:若,則線段AB的中點坐標為)
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(本小題滿分12分)
在經(jīng)濟學中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月生產(chǎn)x臺某種產(chǎn)品的收入為R(x)元,成本為C(x)元,且R(x)=3 000x-20x2,C(x)=500x+4 000(x∈N*).現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過100臺.
(1)求利潤函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤函數(shù)MP(x);
(2)求利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差.
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武漢市某地西瓜從2012年6月1日起開始上市。通過市場調(diào)查,得到西瓜種植成本Q(單位:元/kg)與上市時間t(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:
時間t | 50 | 110 | 250 |
種植成本Q | 150 | 108 | 150 |
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(本題滿分12分)某公司試銷一種新產(chǎn)品,規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價500元/件,又不高于800元/件,經(jīng)試銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價(元/件)之間,可近似看做一次函數(shù)的關系(圖象如圖所示).
(1)根據(jù)圖象,求一次函數(shù)的表達式;
(2)設公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價-成本總價)為S元:
①求S關于的函數(shù)表達式;
②求該公司可獲得的最大毛利潤,并求出此時相應的銷售單價.
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