如圖，四棱錐的底面是矩形，，且側(cè)面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點，使得二面角的大小為45°.若存在，試求的值，若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）見解析；（2）45°.

【解析】第一問先利用取中點，由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面，然后以為原點，建立空間直角坐標系，結合向量的數(shù)量積公式得到證明。

第二問中，假設在棱上存在一點，不妨設，

則點的坐標為則得到平面的一個法向量.，

又面的法向量可以是向量的夾角公式，表示出二面角，從而解得。

 

取中點，則由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以為原點，建立空間直角坐標系（如圖）.則……………………………2分

（Ⅰ）證明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假設在棱上存在一點，不妨設

，

則點的坐標為，……………………………8分

∴

設是平面的法向量，則

不妨取，則得到平面的一個法向量.…………………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

則45°=

可解得，即

故在棱上存在點，當時，使得二面角的大小等于45°. ………12分

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年朝陽區(qū)二模文）（13分）

  如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ) 求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

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（09年山東實驗中學診斷三理）（13分）如圖：四棱錐的底面是提醒，腰，平分且與垂直，側(cè)面都垂直于底面，平面與底面成60°角

（1）求證：；

（2）求二面角的大小

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省高三第八次月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面,,,

點是上的點，且．     

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求的值，使平面；

（Ⅲ）當時，求三棱錐與四棱錐的體積之比．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年浙江省高三上學期摸底理科數(shù)學 題型：解答題

（（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，、分別是棱、的中點.

   （1）求證:；   （2） 求直線與平面所成的角的正切值

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學試卷 題型：填空題

（本小題滿分12 分）

如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，

，平面，，為的中點，O為底面對角線的交點；

（1）求證：平面平面； 

（2）求二面角的正切值。

 

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