Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB，PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若PA=AD，求二面角P-DC-A的平面角的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取PO中點H，連FH，AH，由三角形中位線定理，及E為AB中點，可得AEFH為平行四邊形，從而EF∥AH，再由線面平行的判定定理得到EF∥平面PAD；
（2）由已知中矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，我們可得PA⊥CD，CD⊥AD，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AH，結(jié)合AH∥EF得到EF⊥CD；
（3）由矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，可得∠PDA為所求的二面角．

解答： （1）證明：取PD中點H，連FH，AH
則FH平行且等于

1

2

CD，
又CD平行且等于AB，E為AB中點，
∴FH平行且等于AE
∴AEFH為平行四邊形，
從而EF∥AH，
又EF?平面PAD，AH?平面PAD，
所以EF∥平面PAD
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD，
又AH?平面PAD，
∴CD⊥AH，
而AH∥EF，
∴CD⊥EF．
（3）解：∵矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA為所求的二面角．
∴PA=AD，∴∠PDA=45°．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（1），（2）的關鍵是熟練掌握空間中直線與平面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理，（3）的關鍵是證得∠PDA即為二面角P-DC-A的平面角．