本小題主要考查平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)探究意識(shí),考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力。
解法一:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337210495319.jpg)
(Ⅰ)因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720737406.gif" style="vertical-align:middle;" />⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720721301.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721143241.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721189135.gif)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720721301.gif)
,
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720737406.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721252152.gif)
平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720721301.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721330248.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721143241.gif)
⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720737406.gif)
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721143241.gif)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721392232.gif)
。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721408404.gif" style="vertical-align:middle;" />為等腰直角三角形,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721423314.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721439461.gif)
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721455461.gif" style="vertical-align:middle;" />,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721501604.gif)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721392232.gif)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721517241.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721533220.gif)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721392232.gif)
⊥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721564279.gif)
�!�4分
(Ⅱ)存在點(diǎn)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720955327.gif)
,當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133720955327.gif)
為線段
AE的中點(diǎn)時(shí),
PM∥平面
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721564279.gif)
取BE的中點(diǎn)N,連接AN,MN,則MN∥=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721626314.gif)
∥=PC
所以PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN
因?yàn)镃N在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),
所以PM∥平面BCE………………………………8分
(Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于G,則FG∥EA。從而,F(xiàn)G⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G,連結(jié)FH,則由三垂線定理知,BD⊥FH
因此,∠AEF為二面角F-BD-A的平面角
因?yàn)镕A="FE," ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.
設(shè)AB=1,則AE=1,AF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721642273.gif)
。
FG=AF·sinFAG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721657226.gif)
在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721657226.gif)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721735223.gif)
,
GH=BG·sinGBH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721735223.gif)
·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721642273.gif)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721782296.gif)
在Rt△FGH中,tanFHG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721798342.gif)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721033267.gif)
故二面角F-BD-A的大小為arctan
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721033267.gif)
……………………………12分
解法二:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337218604323.jpg)
(Ⅰ)因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,AE
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721189135.gif)
平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
設(shè)AB=1,則AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因?yàn)镕A="FE," ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
從而,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722047442.gif)
.
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722063607.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722079520.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722110423.gif)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722110717.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722141501.gif)
.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因?yàn)锽E
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721189135.gif)
平面BCE,BC∩BE="B" ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ) M(0,0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721657226.gif)
).P(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721657226.gif)
,0).
從而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722250379.gif)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722281208.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722297240.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133721657226.gif)
).
于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722328985.gif)
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直線PM不在平面BCE內(nèi),
故PM∥平面BCE………………………………8分
(Ⅲ) 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722344220.gif)
,并設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722344220.gif)
=(x,y,z)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722375260.gif)
=(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082313372240681.gif)
1,0),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722422619.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722422738.gif)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722453742.gif)
去y=1,則x=1,z=3,從
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722344220.gif)
=(0,0,3)
取平面ABD的一個(gè)法向量為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722484226.gif)
=(0,0,1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231337225001145.gif)
故二面角F-BD-A的大小為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133722515473.gif)
……………………………………12分