本小題主要考查平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學探究意識,考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學問題的能力。
解法一:
(Ⅰ)因為平面
⊥平面
,
平面
,
平面
平面
,
所以
⊥平面
所以
⊥
。
因為
為等腰直角三角形,
,
所以
又因為
,
所以
,
即
⊥
,
所以
⊥平面
!4分
(Ⅱ)存在點
,當
為線段
AE的中點時,
PM∥平面
取BE的中點N,連接AN,MN,則MN∥=
∥=PC
所以PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN
因為CN在平面BCE內(nèi),PM不在平面BCE內(nèi),
所以PM∥平面BCE………………………………8分
(Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延長線于G,則FG∥EA。從而,F(xiàn)G⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G,連結(jié)FH,則由三垂線定理知,BD⊥FH
因此,∠AEF為二面角F-BD-A的平面角
因為FA="FE," ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.
設(shè)AB=1,則AE=1,AF=
。
FG=AF·sinFAG=
在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
=
,
GH=BG·sinGBH=
·
=
在Rt△FGH中,tanFHG=
=
故二面角F-BD-A的大小為arctan
……………………………12分
解法二:
(Ⅰ)因為△ABE為等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因為平面ABEF⊥平面ABCD,AE
平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-xyz.
設(shè)AB=1,則AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因為FA="FE," ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
從而,
.
所以
,
,
.
,
.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因為BE
平面BCE,BC∩BE="B" ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ) M(0,0,
).P(1,
,0).
從而
=(
,
).
于是
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直線PM不在平面BCE內(nèi),
故PM∥平面BCE………………………………8分
(Ⅲ) 設(shè)平面BDF的一個法向量為
,并設(shè)
=(x,y,z)
=(1,
1,0),
即
去y=1,則x=1,z=3,從
=(0,0,3)
取平面ABD的一個法向量為
=(0,0,1)
故二面角F-BD-A的大小為
……………………………………12分