已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的不同兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)A、B處的切線分別為l1、l2，且l1⊥l2，l1與l2相交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（2）證明：A、B、F三點(diǎn)共線；
（3）假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
32
，-1)，問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且與l1、l2都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，進(jìn)而求出直線l1、l2的方程，通過(guò)解它們聯(lián)立的方程組即可求得求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；
（2）欲證明：A、B、F三點(diǎn)共線，只須證明它們的斜率kAF=kBF．相等即可，也就是要證明kAF-kBF=0即可，利用斜率公式結(jié)合點(diǎn)在拋物線上可證得；
（3）對(duì)于存在性問(wèn)題，可假設(shè)存在，即假設(shè)存在符合題意的圓，設(shè)該圓的圓心為M，再分別求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，最后求出|AD|和|BD|，看是否與題設(shè)矛盾，若不矛盾，則存在，否則不存在．
解答：（1）解：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），
∵l1、l2分別是拋物線C在點(diǎn)A、B處的切線，
∴直線l1的斜率k1=y′|_x=x1=
x1
p
，直線l2的斜率k2=y′|_x=x2=
x2
p
．
∵l1⊥l2，∴k1k2=-1，得x1x2=-p2．①（2分）
∵A、B是拋物線C上的點(diǎn)，
∴y1=
x
2
1
2p
，y2=
x
2
2
2p
.
∴直線l1的方程為y-
x
2
1
2p
=
x1
p
(x-x1)，直線l2的方程為y-
x
2
2
2p
=
x2
p
(x-x2)．
由
y-
x
2
1
2p
=
x1
p
(x-x1)
y-
x
2
2
2p
=
x2
p
(x-x2)
解得
x=
x1+x2
2
y=-
p
2

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-
p
2
．（4分）

（2）證：∵F為拋物線C的焦點(diǎn)，∴F(0，
p
2
)．
∴直線AF的斜率為kAF=
y1-
p
2
x1-0
=
x
2
1
2p
-
p
2
x1
=
x
2
1
-p2
2px1
，
直線BF的斜率為kBF=
y2-
p
2
x2-0
=
x
2
2
2p
-
p
2
x2
=
x
2
2
-p2
2px2
．
∵kAF-kBF=
x
2
1
-p2
2px1
-
x
2
2
-p2
2px2
（6分）=
x2(
x
2
1
-p2)-x1(
x
2
2
-p2)
2px1x2
=
x1x2(x1-x2)+p2(x1-x2)
2p
x
 
1
x2
=
-p2(x1-x2)+p2(x1-x2)
2px1x2
=0．
∴kAF=kBF．
∴A、B、F三點(diǎn)共線．（8分）
（3）解：不存在．證明如下：
假設(shè)存在符合題意的圓，設(shè)該圓的圓心為M，
依題意得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l1⊥l2，得AD⊥BD．
∴四邊形MADB是正方形．
∴|AD|=|BD|．（10分）
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
3
2
，-1)，
∴-
p
2
=-1，得p=2．
把點(diǎn)D(
3
2
，-1)的坐標(biāo)代入直線l1，得-1-
x
2
1
4
=
x1
2
×(
3
2
-x1)
解得x1=4或x1=-1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4）或(-1，
1
4
)．
同理可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）或(-1，
1
4
)．
由于A、B是拋物線C上的不同兩點(diǎn)，不妨令A(-1，
1
4
)，B（4，4）．
∴|AD|=
(-1-
3
2
)2+(
1
4
+1)2
=
125
16
，|BD|=
(4-
3
2
)2+(4+1)2
=
125
4
．（13分）
∴|AD|≠|(zhì)BD|，這與|AD|=|BD|矛盾．
∴經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且與l1、l2都相切的圓不存在．（14分）
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為
12
．
（1）試求拋物線C的方程；
（2）設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t＞0），過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M，過(guò)點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N，若MN是C的切線，求t的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=
12
y和定點(diǎn)P（1，2），A、B為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)．
（I）求證：直線AB的斜率是定值；
（II）若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，求M的軌跡方程；
（III）若A′與A關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，求直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py，過(guò)點(diǎn)A（0，4）的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點(diǎn)Q，若△MNQ是等腰三角形，求直線MN的方程．K．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且拋物線上一點(diǎn)M(2
2
 ， m) (m＞1)到點(diǎn)F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且
AF
=3
FB
，求k的值．
（Ⅲ）過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，求證：
AB
 • 
FQ
=0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：x2=2my（m＞0）和直線l：y=x-m沒(méi)有公共點(diǎn)（其中m為常數(shù)）．動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，且直線MN恒過(guò)點(diǎn)Q（1，1）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知O點(diǎn)為原點(diǎn)，連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案