Question

已知拋物線(xiàn)C：x²=2my（m＞0）和直線(xiàn)l：y=x-m沒(méi)有公共點(diǎn)（其中m為常數(shù)）．動(dòng)點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N，且直線(xiàn)MN恒過(guò)點(diǎn)Q（1，1）．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）已知O點(diǎn)為原點(diǎn)，連接PQ交拋物線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，求

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

的值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)C的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)
PM，PN 的方程，將P的坐標(biāo)代入得到MN的方程，據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式判斷出MN過(guò)的定點(diǎn)，據(jù)已知求出拋物線(xiàn)C的方程．
（2）設(shè)出直線(xiàn)PQ的方程，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得解．

解答：解：（1）如圖，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=

x2

2m

，得y′=

x

m

，∴PM的斜率為

x1

m

，PM的方程為y=

x1

m

x-y₁
同理得PN：y=

x2

m

x-y₂，
設(shè)P（x₀，y₀）代入上式得 y₀=

x1

m

x₀-y₁，y₀=

x2

m

x₀-y₂，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）滿(mǎn)足方程y₀=

x

m

x₀-y                          
故MN的方程為y=

x0

m

x-y₀=

x0

m

x-（x₀-m）
上式可化為y-m=

x0

m

（x-m），過(guò)交點(diǎn)（m，m）
∵M(jìn)N過(guò)交點(diǎn)Q（1，1），
∴m=1
∴拋物線(xiàn)C的方程為x²=2y
（2）設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

=

2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0

(x4-x0)(x4-1)

…（Ⅰ）
∵P（x₀，y₀），Q（1，1）
∴PQ直線(xiàn)方程為y-1=

y0-1

x0-1

（x-1），
與x²=2y聯(lián)立化簡(jiǎn)x²-

2y0-2

x0-1

x+

2y0-2

x0-1

-2=0
∴x₃x₄=

2y0-2x0

x0-1

…①，x₃+x₄=

2y0-2

x0-1

…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
則分子2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=

4y0-2(y0-1)(1+x0) +x 2 0 -6x0

x0-1

…（Ⅱ）
又P點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx-1上，
∴y₀=kx₀-1代入（Ⅱ）中得：2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0
∴

|PA|

| PB|

-

| QA|

| QB|

=

2x3x4-(1+x0)(x3+x4)+2kx0

(x4-x0)(x4-1)

=0

點(diǎn)評(píng)：解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，一般是設(shè)出直線(xiàn)方程，將直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，然后利用韋達(dá)定理找突破口．