Question

設數列{a_n}滿足a₁=5，且對任意整數n，總有（a_n+1+3）（a_n+3）=4a_n+4成立，則數列{a_n}的前2015項的和為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知利用遞推思想求出數列{a_n}是以4為周期的數列，且a₁+a₂+a₃+a₄=-

5

3

，由此能求出數列{a_n}的前2015項的和．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足a₁=5，且對任意整數n，總有（a_n+1+3）（a_n+3）=4a_n+4成立，
∴8（a₂+3）=24，解得a₂=0，
3（a₃+3）=4，解得a₃=-

5

3

，

4

3

(a4+3)=-

8

3

，解得a₄=-5，
-2（a₅+3）=-16，解得a₅=5．
∴數列{a_n}是以4為周期的數列，且a₁+a₂+a₃+a₄=-

5

3

，
2015=503×4+3，
∴S₂₀₁₅=503×（-

5

3

）+5+0-

5

3

=-835．
故答案為：-835．

點評：本題考查數列{a_n}的前2015項的和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意數列的周期性質的合理運用．