Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）判斷并證明函數(shù)的單調性；　　  
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用定義法進行證明，設x₁＞x₂，證出f（x₁）＞f（x₂），從而函數(shù)f（x）在定義域上單調遞增，（2）由f（-x）=-f（x）得出等式，求出a即可．

解答： 解：（1）設x₁＞x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=2•

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＞x₂，
∴2x1＞2x2，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域上單調遞增．
（2）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=a-

2

2-x+1

=-（a-

2

2x+1

），
∴2a=

2

2-x+1

+

2

2x+1

，
∴2a=

2(2x+1)

2x+1

∴a=1．

點評：本題考察了函數(shù)單調性的證明，函數(shù)的奇偶性，是一道基礎題．