Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，P點在平面ABCD內(nèi)的射影為A，且PA=AB=2，E為PD中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）證明：平面PCD⊥平面PAD．

Answer 1

（Ⅰ）
證明：連接BD交AC于點O，連接EO．
∵O為BD中點，E為PD中點，
∴EO∥PB
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC、
（Ⅱ）
證明：∵P點在平面ABCD內(nèi)的射影為A，
∴PA⊥平面ABCD、∵CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD、
又∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
分析：（I）欲證PB∥平面AEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PB與平面AEC內(nèi)一直線平行，連接BD交AC于點O，連接EO，根據(jù)三角形的中位線可知EO∥PB，而EO?平面AEC，PB?平面AEC，滿足定理條件；
（II）欲證平面PCD⊥平面PAD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PCD內(nèi)一直線與平面PAD垂直，而PA⊥CD，CD⊥AD，PA∩AD=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知CD⊥平面PAD，得到結(jié)論．
點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．