Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，0≤φ≤

π

2

）的圖象與y軸相交于點（0，

3

+1），且函數(shù)的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[-

π

2

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）-k=0（k∈R）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈z，求得x的范圍，再結合x∈[-

π

2

，

π

2

]時，可得函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間
（Ⅲ）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上恰有兩個不同的交點，數(shù)形結合求得故k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由函數(shù)的最小正周期為

2π

ω

=π，可得ω=2．
把點（0，

3

+1）代入函數(shù)
f（x）=2cos（ωx+φ）+1，可得cosφ=

3

2

，
再結合0≤φ≤

π

2

，可得φ=

π

6

，
∴f（x）=2cos（2x+

π

6

）+1．
（Ⅱ）令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈z，
求得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．
再結合x∈[-

π

2

，

π

2

]時，可得函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為[-

π

12

，

5π

12

]．
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）-k=0（k∈R）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，
則函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上恰有兩個不同的交點，如圖所示：
故k的范圍為{k|-1＜k＜3，且k≠1-

3

 }．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，余弦函數(shù)的圖象，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．