Question

如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面,

（Ⅰ）求證：平面
（Ⅱ）若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值
（Ⅲ）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫(xiě)出的解析式。（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）1（Ⅲ）共有種不同的方案

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接

，               
四邊形為平行四邊形
且
在中，

,即，又，所以
平面，平面
，又，
平面
（Ⅱ）以為原點(diǎn)，的方向?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824015512367459.png" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量，則由
得取，得
設(shè)與平面所成角為，則
，解得．故所求的值為1
（Ⅲ）共有種不同的方案

立體幾何第一問(wèn)對(duì)于關(guān)系的決斷往往基于對(duì)公理定理推論掌握的比較熟練，又要善于做出一線(xiàn)輔助線(xiàn)加以證明，那么第二問(wèn)就可以在其基礎(chǔ)上采用坐標(biāo)法處理角度或者距離問(wèn)題，坐標(biāo)法所用的公式就必需熟練掌握，第三問(wèn)主要考查了學(xué)生的空間思維能力，要在平時(shí)多加練習(xí)。此題坐標(biāo)法也很考驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算功底。
【考點(diǎn)定位】 本題主要考查立體幾何中線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系線(xiàn)面關(guān)系的判斷以及線(xiàn)面角的算法，并且通過(guò)第三問(wèn)的設(shè)問(wèn)又把幾何體的表面積與函數(shù)巧妙的結(jié)合起來(lái)，計(jì)算和空間思維要求比較高。屬于難題。