Question

已知直線l₁：5x+2y-3=0和l₂：3x-5y-8=0的交點(diǎn)為P，求：
（1）過(guò)點(diǎn)P且與直線x+4y-7=0平行的直線l的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P且與直線x+4y-7=0垂直的直線l'的方程．

Answer 1

分析：（1）方法一：先聯(lián)立方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行，確定直線l的斜率，從而可求直線l的方程；
方法二：利用與已知直線平行時(shí)，斜率相等，假設(shè)方程，再將交點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得直線l的方程；
（2）方法一：先聯(lián)立方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用垂直，確定直線l的斜率，從而可求直線l′的方程；
方法二：利用與已知直線垂直時(shí)，斜率互為負(fù)倒數(shù)，假設(shè)方程，再將交點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得直線l′的方程．

解答：解：（1）方法一：由

5x+2y-3=0 3x-5y-8=0

得 

x=1 y=-1

，即點(diǎn)P（1，-1）…（3分）
∵直線x+4y-7=0的斜率為-

1

4

∴所求直線l的斜率為-

1

4

…（5分）
∴直線l的方程為y+1=-

1

4

(x-1)，
即x+4y+3=0…（7分）
方法二：因?yàn)樗�求直線l與直線x+4y-7=0平行，
故可設(shè)所求的直線l方程為x+4y+m=0…（2分）
由

5x+2y-3=0 3x-5y-8=0

得 

x=1 y=-1

，即點(diǎn)P（1，-1）…（5分）
將x=1，y=-1代入方程x+4y+m=0，得1-4+m=0，∴m=3…（6分）
∴直線l的方程為x+4y+3=0…（7分）
（2）方法一：由（1）得點(diǎn)P（1，-1）
∵直線x+4y-7=0的斜率為-

1

4

∴所求直線l'的斜率為4 …（11分）
∴直線l'的方程為y+1=4（x-1），即4x-y-5=0…（14分）
方法二：由直線l'垂直于直線x+4y-7=0，
則可設(shè)直線l'的方程為4x-y+t=0…（10分）
∵l₁與l₂的交點(diǎn)為P（1，-1）
∴4×1-（-1）+t=0，得t=-5…（12分）
∴直線l'的方程為4x-y-5=0…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線方程的求解，考查兩條直線平行于與垂直的位置關(guān)系，兩種方法并舉，注意細(xì)細(xì)體會(huì)．