Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）的零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)f（x）的最小值為y₀，且y₀≤-x₂，則函數(shù)y=f（|f（x）|）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）的零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），借助韋達(dá)定理可分析出x₁＜0＜x₂，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)x₂，則當(dāng)且僅當(dāng)|f（x）|=x₂時(shí)，f（|f（x）|）=0，分析|f（x）|=x₂解的個(gè)數(shù)可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＜0）的零點(diǎn)為x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴x₁•x₂=

c

a

＜0，即x₁，x₂異號，
故x₁＜0＜x₂，
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)x₂，
故當(dāng)且僅當(dāng)|f（x）|=x₂時(shí)，f（|f（x）|）=0，
又∵y₀≤-x₂，故|f（x）|=x₂有四個(gè)解，
故函數(shù)y=f（|f（x）|）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故答案為：4

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，其中將問題轉(zhuǎn)化為分析|f（x）|=x₂解的個(gè)數(shù)，是解答的關(guān)鍵．