Question

10．若函數(shù)f（x）=e^|x-a|（a∈R）滿足f（1+x）=f（-x），且f（x）在區(qū)間[m，m+1]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由已知可得函數(shù)f（x）=e^|x-a|=${e}^{|x-\frac{1}{2}|}$，則函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）為增函數(shù)，進(jìn)而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^|x-a|（a∈R）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，
若函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（-x），
則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{2}$對稱，
即a=$\frac{1}{2}$，
故函數(shù)f（x）=e^|x-a|=${e}^{|x-\frac{1}{2}|}$，
故函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，在[$\frac{1}{2}$，+∞）為增函數(shù)，
若f（x）在區(qū)間[m，m+1]上是單調(diào)函數(shù)，
則m≥$\frac{1}{2}$，或m+1≤$\frac{1}{2}$，
解得：m∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

點評 本題考查的知識點是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的對稱性，難度中檔．