Question

已知向量

a

=（

3

cosx，cosx），

b

=（0，sinx），

c

=（sinx，cosx）

d

=（sinx，sinx）．
（1）當x=

π

4

時，求向量

a

與

b

的夾角θ；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求

c

•

d

的最大值；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=（

a

-

b

）（

c

+

d

），將函數(shù)f（x）的圖象向右平移s個長度單位，向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）=2sin2x+1，令

m

=（s，t），求|

m

|的最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）當x=

π

4

時，利用cosθ=

a • b

| a || b |

，即可求向量

a

與

b

的夾角θ；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，化簡

c

•

d

的表達式，通過相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解其最大值；
（3）通過三角變換求出函數(shù)g（x）的表達式，與g（x）=2sin2x+1對照比較，得到

m

=（s，t），即可求|

m

|的最小值．

解答： 解：（1）當x=

π

4

時，向量

a

=（

3

cosx，cosx）=（

6

2

，

2

2

），

b

=（0，sinx）=（0，

2

2

），

a

•

b

=(

6

2

，

2

2

)•(0，

2

2

)=

1

2

，|

a

|=

2

，|

b

|=

2

2

，----（2分）
cosθ=

a • b

| a || b |

=

1 2

2 × 2 2

=

1

2

，∴θ=

π

3

----（4分）．
（2）

c

•

d

=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

+

1

2

(sin2x-cos2x)=

1

2

+

2

2

sin(2x-

π

4

)．----（6分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴當2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

，(

c

•

d

)max=

2 +1

2

----（8分）．
函數(shù)f（x）=（

a

-

b

）（

c

+

d

）
=（

3

cosx，cosx-sinx）•（2sinx，cosx+sinx）
=

3

sin2x+cos2x．
=2sin（2x+

π

6

），
（3）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移s個長度單位，向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）=2sin2x+1，
∴2sin2x+1=2sin（2x+

π

6

-2s）+t，
t=1，s=

π

12

+kπ，k∈Z．

m

=（s，t），|

m

|=

1+( π 12 +kπ)2

≤

1+ π2 144

=

144+π2

12

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)圖象的平移變換，向量的模等知識，考查分析問題解決問題的能力．