Question

下列說法中正確的是

②③④

（寫出所有正確的序號）
①△ABC中，若a=

3

，b=1，A=30°，則cosB的值有兩解；
②△ABC中，若a=1，b=

3

，A=30°，則cosB的值有兩解；
③△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B；
④△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB．

Answer 1

分析：①由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，根據(jù)大邊對大角，可得A大于B，由A的度數(shù)得出B的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosB的值，可作出判斷；
②方法同①類似，計算后可作出判斷；
③根據(jù)sinA大于sinB，利用正弦定理得出a大于b，再根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得出A與B的大小，作出判斷；
④在三角形ABC中，由A大于B，分兩種情況考慮：若A和B都為銳角，根據(jù)正弦函數(shù)sinx在（0，90°）為增函數(shù)，可得出sinA大于sinB；若A為鈍角，B為銳角，可設(shè)B=90°-x，A=90°+y，其中x與y都為銳角，表示出sinA和sinB，利用誘導公式化簡，根據(jù)A和B都為三角形的內(nèi)角，得到A+B的范圍，進而得到x大于y，由余弦函數(shù)cosx在（0，90°）為減函數(shù)，可得出cosx與cosy的大小，進而得到sinA大于sinB，綜上，若A大于B，則有sinA大于sinB，本選項正確．

解答：解：①由a=

3

，b=1，A=30°，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

1× 1 2

3

=

3

6

，
又a＞b，得到A＞B，即B＜30°，
則cosB=

1-sin2B

=

33

6

，即cosB只有一解，本選項錯誤；
②由a=1，b=

3

，A=30°，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

3 × 1 2

1

=

3

2

，
又a＜b，得到A＜B，即B＞30°，
則cosB=

1-sin2B

=

1

2

，即cosB有兩解，本選項正確；
③在△ABC中，若sinA＞sinB，則由正弦定理可得 a＞b，
再根據(jù)△ABC中大邊對大角可得A＞B，本選項正確；
④△ABC中，若A＞B，分兩種情況：
當0＜B＜A≤90°，正弦函數(shù)sinx為單調(diào)遞增區(qū)間，顯然sinA＞sinB；
當0＜B＜90°＜A，設(shè)B=90°-x，A=90°+y（x與y均為大于0，小于90°的角），
sinB=sin（90°-x）=cosx，sinA=（90°+y）=cosy，
∵0＜A+B＜180°，則0＜90°-x+90°+y＜180，∴x＞y，
由余弦函數(shù)cosx在（0，90°）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴cosx＜cosy，即sinB＜sinA，
綜上，△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB，本選項正確，
故答案為：②③④

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的邊角關(guān)系，以及正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，利用了換元及分類討論的思想，第四小題的技巧性比較強，要求學生知識要全面，方法要靈活．