Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)y=φ（x）的圖象，試寫出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可得 φ（x）=a² （x-1）² ，值域?yàn)閇0，+∞）． …（2分）
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，
等價(jià)于（1-a²） x²-2x+1＞0 恰有三個(gè)整數(shù)解，故 1-a²＜0，即 a＞1，∴（1-a²） x²-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
所以 ，又因?yàn)?，
所以 ，解之得 ． …（6分）
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）= x²-elnx，則 F′（x）=x-=．
所以當(dāng) 0＜x＜ 時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0；當(dāng) x＞ 時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0．
因此 x= 時(shí)，F(xiàn)（x） 取得最小值0，
則 f（x）與g（x）的圖象在x= 處有公共點(diǎn) （，）． …（8分）
設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，方程為 y-=k（x-），即 y=kx+-k，
由 f（x）≥kx+-k，對(duì)x∈R恒成立，
則 x²-2kx-e+2k≥0 在x∈R恒成立．
所以△=4k²-4（2k-e）=4≤0成立，因此 k=．…（10分）
下面證明 g（x）≤- （x＞0）恒成立．
設(shè)G（x）=elnx-x+，則 G′（x）==．
所以當(dāng) 0＜x＜ 時(shí)，G′（x）＞0；當(dāng) x＞ 時(shí)，G′（x）＜0．
因此 x= 時(shí)，G（x）取得最大值0，則 g（x）≤- （x＞0）成立．
故所求“分界線”方程為：y=-．　　　　　　　　　　　　…（14分）
分析：（1）由函數(shù)圖象的變換可得 φ（x）=a² （x-1）² ，值域?yàn)閇0，+∞）．
（2）由題意可得（1-a²） x²-2x+1＞0 恰有三個(gè)整數(shù)解，故 1-a²＜0，再由（1-a²） x²-2x+1＞0，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）= x²-elnx，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷單調(diào)性，求出 x= 時(shí)，F(xiàn)（x） 取得最小值0．設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，方程為 y=kx+-k，由 f（x）≥kx+-k，對(duì)x∈R恒成立，求得k=．再利用導(dǎo)數(shù)證明g（x）≤- （x＞0）恒成立，從而得到所求“分界線”方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平移，值域，解整式和分式不等式，切線方程的求法，導(dǎo)數(shù)知識(shí)判斷單調(diào)性及其應(yīng)用，存在性，以及探索、等價(jià)轉(zhuǎn)化和推理證明能力，解決綜合問題的能力．