Question

【題目】設(shè)，函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)的極值；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）有極大值，無(wú)極小值；（3）.

【解析】

（1）求出，解得或，則可探究當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 的變化，從而求出單調(diào)區(qū)間；

（2）求出，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)探究 在 的單調(diào)性，結(jié)合，可探究出隨的變化情況，從而可求極值；

（3）令，可得在只有一個(gè)解，借助第二問(wèn)可知，從而可求出的值.

解：（1）當(dāng)時(shí)，.易知的定義域?yàn)?/span>，

令，解得或，

當(dāng)時(shí)，，則 遞減；當(dāng)時(shí)，，則 遞增，

因此，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（2）的定義域?yàn)?/span>，則，令，

則，故在單調(diào)遞減，又知，

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即

因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

即當(dāng) 時(shí)， 有極大值，無(wú)極小值.

（3）令，整理得：在只有一個(gè)解，

即的圖像與的圖像在只有一個(gè)交點(diǎn)，由（2）知，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且有極大值，

所以，，解得.