Question

已知橢圓C：的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與曲線|y|=kx（k＞0）的交點(diǎn)為A、B，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）寫出圓O的方程，根據(jù)直線與圓相切可求得b值，根據(jù)所給斜率及a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x，y），（x＞0，y＞0），AB交x軸于點(diǎn)D，由對(duì)稱性知S_△OAB=2S_△OAD，根據(jù)點(diǎn)A在直線OA、橢圓上可用k表示出x，從而可把△OAB面積表示為關(guān)于k的函數(shù)，利用基本不等式即可求得其最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)可知，圓O的方程為x²+y²=b²，
因?yàn)橹本�l：x-y+2=0與圓O相切，故有=b，
所以b=，已知，
所以有a²=3c²=3（a²-b²），
解得a²=3，
所以橢圓C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x，y），（x＞0，y＞0），則y=kx，
設(shè)AB交x軸于點(diǎn)D，由對(duì)稱性知：
S_△OAB=2S_△OAD=2×xy=，
由，解得，
所以S_△OAB=k=≤，
當(dāng)且僅當(dāng)，即k=時(shí)取等號(hào)，
所以△OAB面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想，解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵是把三角形OAB面積表示為函數(shù)，正確運(yùn)用基本不等式是解決基礎(chǔ)．