Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

2-x

2+x

．求：
（1）f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）在其定義域上的奇偶性，并予以證明，
（3）求f（x）＞0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)f（x）的定義域，（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可；（3）分別討論a＞1，0＜a＜1時(shí)的情況，再解不等式．

解答： 解：（1）∵

2-x

2+x

＞0，解得：-2＜x＜2，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?2，2）
（2）f（x）為定義域上的奇函數(shù)，
∵f（x）的定義域?yàn)椋?2，2），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
f(-x)+f(x)=loga

2+x

2-x

+loga

2-x

2+x

=loga

2+x

2-x

•

2-x

2+x

=loga1=0，
∴f（x）在（-2，2）上為奇函數(shù)． 
（3）a＞1時(shí)，f（x）＞0，
則

2-x

2+x

＞1⇒-2＜x＜0，
f（x）＞0的解集為（-2，0）
0＜a＜1時(shí)，f（x）＞0，
則0＜

2-x

2+x

＜1⇒0＜x＜2，
f（x）＞0的解集為（0，2）．
∴a＞1時(shí)，f（x）＞0的解集為（-2，0）
0＜a＜1時(shí)，f（x）＞0的解集為（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域問(wèn)題，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，函數(shù)的奇偶性，考查分類(lèi)討論，是一道中檔題．