Question

在直角坐標系xOy中，點M到點F₁、F₂的距離之和是4，點M的軌跡是C，直線l：與軌跡C交于不同的兩點P和Q．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使以線段PQ為直徑的圓過原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點M到，的距離之和是4，
∴M的軌跡C是長軸長為4，焦點在x軸上焦距為的橢圓，
其方程為．（4分）
（2）將，代入曲線C的方程，整理得．①（6分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由方程①，得，．②（8分）
又．③（9分）
若以PQ為直徑的圓過原點，則，所以x₁x₂+y₁y₂=0，（10分）
將②、③代入上式，解得．（12分）
又因k的取值應滿足△＞0，即4k²-1＞0（*），將代入（*）式知符合題意．（13分）
分析：（Ⅰ）直接結(jié)合條件利用定義得M的軌跡C是長軸長為4，焦點在x軸上焦距為的橢圓，即可求軌跡C的方程；
（Ⅱ）先把直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到關于點P和Q坐標之間的等式，再代入以線段PQ為直徑的圓過原點O的等價結(jié)論x₁x₂+y₁y₂=0即可求出k的值．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及軌跡方程的求法．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點和重點．