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如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PD⊥底面ABCD，設PD=數學公式，M、N分別是PB、AB的中點．
（I）求異面直線MN與PD所成角的大�。�
（II）求二面角P-DN-M的大�。�

解：（I）∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PD⊥底面ABCD，設PD=，M、N分別是PB、AB的中點．
以D為坐標原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，
則M（2，2，2），N（4，2，0），P（0，0，），D（0，0，0）
則=（2，0，-2），=（0，0，-），
設異面直線MN與PD所成角為θ
則cosθ==
∴θ=
（II）設=（a，b，c）為平面PDN的一個法向量
則，即
令a=1，則=（1，-2，0）平面PDN的一個法向量
設=（x，y，z）為平面DMN的一個法向量
則，即
令z=1，則=（，-2，1）為平面DMN的一個法向量
設二面角P-DN-M的平面角為α
則cosα==
∴二面角P-DN-M的大小為arccos
分析：（I）以D為坐標原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出異面直線MN與PD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線MN與PD所成角的大�。�
（II）分別求出平面PDN的一個法向量和平面DMN的一個法向量，代入向量夾角公式，可以求出二面角P-DN-M的余弦值，進而得到二面角P-DN-M的大�。�
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，解答此類問題的關鍵是，建立恰當的空間坐標系，求出對應直線的方向向量及平面的法向量，將空間異面直線的夾角問題及二面角問題轉化為向量的夾角問題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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