Question

已知函數(shù)是定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823235107300426.png" style="vertical-align:middle;" />上的奇函數(shù)，且
(1）求的解析式，    
(2)用定義證明：在上是增函數(shù)，
（3）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)的范圍.

Answer 1

（1） ；（2）見(jiàn)解析；(3) 0<<。

試題分析：（1）先根據(jù)f(x)為奇函數(shù)，知f(0)=0,可得b=0,然后再根據(jù),求出a值.從而確定f(x)的解析式.
（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟有三：一是取值.二是作差變形，判斷符號(hào)；三是得出結(jié)論.
（3）解此類(lèi)抽象不等式關(guān)鍵是 ∴<-，再根據(jù)奇函數(shù)轉(zhuǎn)化為<，再利用單調(diào)性脫掉法則符號(hào)f,從而轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系即可解決.
（1） ∵函數(shù)是定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823235108018437.png" style="vertical-align:middle;" />上的奇函數(shù) ∴
∴——————————2
又   ∴
∴   ——————————————4
（2）任取且

————————6
∵  ∴     
∴ 即
∴ 在上是增函數(shù)————————————8
(3) ∴<-
又由已知是上的奇函數(shù)
∴< ----------------------10
∵是上的增函數(shù)
————————————13
∴0<<--------------------------------14
點(diǎn)評(píng)： 當(dāng)奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時(shí)，要注意f(0)=0這個(gè)條件的使用.利用單調(diào)性定義進(jìn)行證明時(shí)，關(guān)鍵是作差變形確定差值符號(hào)，一般要分解成若干個(gè)因式積的形式，通過(guò)判斷每個(gè)因式的符號(hào)來(lái)判斷差值符號(hào).
在解抽象不等式時(shí)，要注意利用單調(diào)性把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系從而轉(zhuǎn)化為普通不等式來(lái)解.