如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，P為CD的中點．
（1）求證：CD⊥平面MAP；
（2）求證：MP∥平面OBC；
（3）求三棱錐M-PAD的體積．

（1）證明：∵OA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴OA⊥CD
∵四邊形ABCD這菱形且∠ABC=60°，∴△ACD為正三角形，
∵P為CD的中點，∴AP⊥CD
又OA∩AP=A，∴CD⊥平面MAP；…（5分）
（2）證明：設(shè)N為線段OB的中點，連接MN、CN，則
∵M為OA的中點，∴MN∥AB，且，∴MN∥CP且MN=CP，
∴四邊形MNCP為平行四邊形，∴MP∥CN
∵MP?平面OBC，CN?平面OBC
∴MP∥平面OBC；…（10分）
（3）解：∵OA=CD=2，∴，
∴…（14分）
分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)，可得OA⊥CD，再利用線面垂直的判定，可得線面垂直；
（2）設(shè)N為線段OB的中點，連接MN、CN，可得四邊形MNCP為平行四邊形，從而可得MP∥CN，利用線面平行的判定，可得線面平行；
（3）利用三棱錐的體積公式，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC中點，以A為原點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量解答以下問題
（1）證明：直線BD⊥OC
（2）證明：直線MN∥平面OCD
（3）求異面直線AB與OC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大�。�
（Ⅲ）求二面角A-OD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π3
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（1）求三棱錐B-OCD的體積；
（2）求異面直線AB與MD所成角的余弦值；
注：若直線a⊥平面α，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點
（1）求三棱錐B-OCD的體積；
（2）求異面直線AB與MD所成角的大��；
注：若直線a⊥平面α，則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇同步題 題型：解答題

如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大��；
（Ⅲ）求二面角A﹣OD﹣C的余弦值．

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