Question

已知等差數列{a_n}的前n項和胃S_n，公差d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若從數列{a_n}中依次取出第2項、第4項、第8項，…，第2ⁿ項，…，按原來順序組成一個新數列{b_n}，記該數列的前n項和為T_n，求T_n的表達式．

Answer 1

（1）設等差數列的公差為d，則
∵S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列，
∴3a₁+3d+5a₁+10d=50，（a₁+3d）²=a₁（a₁+12d）
∵公差d≠0，∴a₁=3，d=2
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n+1；
（2）據題意得b_n=a2n=2×2ⁿ+1．
∴數列{b_n}的前n項和公式：T_n=（2×2+1）+（2×2²+1）+…+（2×2ⁿ+1）=2×（2+2²+…+2ⁿ）+n=2×

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺²+n-4．