【題目】設數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且(Sn﹣1)2=anSn(n∈N*).
(1)求S1 , S2 , S3的值;
(2)求出Sn及數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設bn=(﹣1)n1(n+1)2anan+1(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn

【答案】
(1)解:∵(Sn﹣1)2=anSn(n∈N*),

∴n≥2時,(Sn﹣1)2=(Sn﹣Sn1)Sn(n∈N*).

∴n=1時, ,解得a1= =S1

n=2時, ,解得S2=

同理可得:S3=


(2)解:由(1)可得:n≥2時,(Sn﹣1)2=(Sn﹣Sn1)Sn(n∈N*).

化為:Sn= .(*)

猜想Sn=

n≥2時,代入(*),左邊= ;右邊= = ,

∴左邊=右邊,猜想成立,n=1時也成立.

∴n≥2時,an=Sn﹣Sn1= = ,n=1時也成立.

∴Sn= ,an=


(3)解:bn=(﹣1)n1(n+1)2anan+1(n∈N*)=(﹣1)n1 =(﹣1)n1

∴n=2k(k∈N*)時,數(shù)列{bn}的前n項和為

Tn= + +…+

= =

n=2k﹣1(k∈N*)時,數(shù)列{bn}的前n項和為

Tn= + +…﹣ +

= = +

∴Tn= ×


【解析】(1)由(Sn﹣1)2=anSn(n∈N*),分別取n=1,2,3即可得出.(2)由(1)可得:n≥2時,(Sn﹣1)2=(Sn﹣Sn1)Sn(n∈N*).化為:Sn= .猜想Sn= .代入驗證即可得出.(3)bn=(﹣1)n1(n+1)2anan+1(n∈N*)=(﹣1)n1 =(﹣1)n1 ,對n分類討論,利用“裂項求和”方法即可得出.
【考點精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式,需要了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能得出正確答案.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=120°,AB=AC=1,AA1=2,若棱AA1在正視圖的投影面α內(nèi),且AB與投影面α所成角為θ(30°≤θ≤60°),設正視圖的面積為m,側(cè)視圖的面積為n,當θ變化時,mn的最大值是(

A.2
B.4
C.3
D.4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列說法正確的是( ).

A. ,“”是“”的必要不充分條件

B. 為真命題”是“為真命題” 的必要不充分條件

C. 命題“,使得”的否定是:“

D. 命題:“”,則是真命題

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在數(shù)列{ }中,已知,,,則等于(  )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

將數(shù)列的等式關(guān)系兩邊取倒數(shù)是公差為的等差數(shù)列,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到數(shù)列通項,再取倒數(shù)即可得到數(shù)列{}的通項.

將等式兩邊取倒數(shù)得到是公差為的等差數(shù)列,=,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式的求法得到,=.

故答案為:B.

【點睛】

這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法,數(shù)列通項的求法中有常見的已知的關(guān)系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;還有構(gòu)造新數(shù)列的方法,取倒數(shù),取對數(shù)的方法等等.

型】單選題
結(jié)束】
9

【題目】在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x(單位m)的取值范圍是 ( )

(A) [15,20](B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列是遞增數(shù)列,且對,都有,則實數(shù)的取值范圍是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

{an}是遞增數(shù)列,得到an+1>an,再由“an=n2+λn恒成立轉(zhuǎn)化為“λ>﹣2n﹣1對于nN*恒成立求解.

∵{an}是遞增數(shù)列,

∴an+1>an,

∵an=n2+λn恒成立

即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,

∴λ>﹣2n﹣1對于nN*恒成立.

而﹣2n﹣1n=1時取得最大值﹣3,

∴λ>﹣3,

故選:D.

【點睛】

本題主要考查由數(shù)列的單調(diào)性來構(gòu)造不等式,解決恒成立問題.研究數(shù)列單調(diào)性的方法有:比較相鄰兩項間的關(guān)系,將an+1an做差與0比較,即可得到數(shù)列的單調(diào)性;研究數(shù)列通項即數(shù)列表達式的單調(diào)性.

型】單選題
結(jié)束】
13

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且anan1+2n1 (n≥2 ),則a20________

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了得到函數(shù)y=sin(2x﹣ )的圖象,只需把函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象(
A.向左平移 個長度單位
B.向右平移 個長度單位
C.向左平移 個長度單位
D.向右平移 個長度單位

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=3,前n項和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.

(1)anbn;

(2)

【答案】(1)an=2n+1,bn=8n1.(2)

【解析】

(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,由題設條件建立方程組解方程組得到dq的值,從而求出anbn;(2)由Sn=n(n+2),知,由此可求出的值.

(1){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正數(shù),

an=3+(n-1)dbnqn1

依題意有,

解得 (舍去).

an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n1.

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2).

所以+…++…+

(1-+…+)

(1+)

.

【點睛】

這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法;數(shù)列通項的求法中有常見的已知的關(guān)系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等。

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(xf(y),且f(1)=.

(1)nN,求f(n)的表達式;

(2)annf(n),nN,求證:a1a2+…+an<2.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知有限集,如果A中元素,滿足,就稱A創(chuàng)新集;

1)若,試寫出一個二元創(chuàng)新集A

2)若,且是二元創(chuàng)新集,求的取值范圍;

3)若是正整數(shù),求出所有的創(chuàng)新集;

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)d的導函數(shù)為f′(x),若f(x)﹣f(﹣x)=2x3 , 且當x≥0時,f′(x)>3x2 , 則不等式f(x)﹣f(x﹣1)>3x2﹣3x+1的解集是

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