【題目】已知函數(shù)，其導函數(shù)為.

（1）討論函數(shù)在定義域內的單調性；

（2）已知，設函數(shù).

①證明：函數(shù)在上存在唯一極值點；

②在①的條件下，當時，求的范圍.

【答案】（1）減區(qū)間為；增區(qū)間為；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）求導后發(fā)現(xiàn)的正負由決定，利用導數(shù)研究單調遞增，又，從而逐層回推，得到的單調性；

（2）①求得，令，利用導數(shù)研究，即單調性，利用零點存在定理得到存在，使得，由此得到的單調性，從而證明結論；

②先求得，，利用導數(shù)研究單調性，從而得到的取值范圍.

解：（1）的定義域為：，

，

設，則，

當時，；，，

所以，單調遞增，又，

所以上，上

所以，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；

（2）①，

，令，則

令，，

由，，，

所以，在遞減；在遞增.

即：在遞減；在遞增.

又，

所以，存在，使得，

從而有，在遞減；在遞增，在定義域內有唯一的零點.

②證明：，

在遞增，，

所以，，

，

設，，

在遞減，則的取值范圍為：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點，（其中），且的取值范圍為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中動圓P與圓外切，與圓內切.

（1）求動圓圓心P的軌跡方程；

（2）直線l過點且與動圓圓心P的軌跡交于A、B兩點.是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積的最大值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為．

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；

（2）已知曲線C3的極坐標方程為，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，A、B均異于原點O，且，求實數(shù)α的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為的導函數(shù)．

（1）證明：當時，；

（2）若是函數(shù)＝在內零點，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為.

（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若點的坐標為，直線與曲線交于，兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位所著，該作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉變，該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”，如圖為該問題的程序框圖，若輸出的值為0，則開始輸入的值為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，.在以坐標原點為極點、x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（1）若點在直線上，求直線的極坐標方程；

（2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，與都是邊長為2的等邊三角形，為等腰直角三角形，，.

（1）證明：；

（2）若為的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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