Question

在三棱錐V-ABC中，底面△ABC是以∠ABC為直角的等腰三角形．又V在底面ABC上的射影H在線段AC上且靠近點(diǎn)C，AC=4，VA=

14

，VB和底面ABC所成的角為45°．
（Ⅰ）求點(diǎn)V到底面ABC的距離；
（Ⅱ）求二面角V-AB-C的大小的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可知VH⊥底面ABC，連BH，設(shè)BH=VH=h，O為AC的中點(diǎn)，在Rt△ABC中，求出OB，在Rt△OBH中，求出OH，在Rt△VAH中，利用勾股定理建立等式，即可求出h，得到所求；
（Ⅱ）過(guò)H作HM⊥AB于M，連接VM，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠VMH為二面角V-AB-C的平面角，最后在三角形VMH中求出此角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）∵V在底面ABC上的射影H在線段AC上且靠近點(diǎn)C，
∴VH⊥底面ABC．連BH，則∠VBH=45°．設(shè)BH=VH=h，O為AC的中點(diǎn)，
則BO⊥AC，BO⊥OH．∴在Rt△ABC中，OB=

1

2

AC=2．在Rt△OBH中，OH=

h2-22

．
在Rt△VAH中，h2+(

h2-22

+2)2=(

14

)2，解得h=

5

．故點(diǎn)V到底面ABC的距離為

5

．
（Ⅱ）∵h=

5

，∴OH=

h2-22

=1．過(guò)H作HM⊥AB于M，連接VM，則∠VMH為二面角V-AB-C的平面角．
∵HM=

3

4

BC=

3

4

×2

2

=

3 2

2

，∴tan∠VMH=

5

3 2 2

=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何的距離問(wèn)題和二面角大小的問(wèn)題．考查考生的運(yùn)算能力及空間關(guān)系的理解能力．