Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜

π

2

）．
（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）當(dāng)確定角θ的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為

π

6

．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）要證平面VAB⊥平面VCD，只需證明平面VAB內(nèi)的直線AB，垂直平面VCD內(nèi)的兩條相交直線CD、VC即可；
（Ⅱ）過點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，說明∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角．求出θ=

π

4

，使得直線BC與平面VAB所成的角為

π

6

．
法二：以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，
（Ⅰ） 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，證明

AB

•

CD

=0，

AB

•

VD

=0，推出AB⊥平面VCD，即可證明平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）求出平面VAB的一個法向量，利用sin

π

6

=|

n• BC

|n|•| BC |

|，求出使得直線BC與平面VAB所成的角為

π

6

的θ的值．

解答：解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，
又D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）過點(diǎn)C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，則由（1）知CH⊥平面VAB．連接BH，
于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角，依題意∠CBH=

π

6

，所以
在Rt△CHD中，CH=

2

2

asinθ；
在Rt△BHC中，CH=asin

π

6

=

a

2

，
∴sinθ=

2

2

，
∵0＜θ＜

π

2

，∴θ=

π

4

，
故當(dāng)θ=

π

4

時，
直線BC與平面VAB所成得角為

π

6

．

解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），D(

a

2

，

a

2

，0)，V(0，0，

2

2

atanθ)，
于是，

VD

=(

a

2

，

a

2

，-

2

2

atanθ)，

CD

=(

a

2

，

a

2

，0)，

AB

=(-a，a，0)．
從而

AB

•

CD

=(-a，a，0)•(

a

2

，

a

2

，0)=-

1

2

a2+

1

2

a2+0=0，即AB⊥CD．
同理

AB

•

VD

=(-a，a，0)•(

a

2

，

a

2

，-

2

2

atanθ)=-

1

2

a2+

1

2

a2+0=0，
即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．


（2）設(shè)平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z）
則由

n• AB =0 n• VD =0

，得

-ax+ay=0 a 2 x+ a 2 y- 2 2 aztanθ=0.

可取n=(1，1，

2

cotθ)，
又

BC

=(0，-a，0)，
于是sin

π

6

=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

a

a• 2+2cot2θ

=

2

2

sinθ，
即sinθ=

2

2

，
∵0＜θ＜

π

2

，∴θ=

π

4

，
故當(dāng)θ=

π

4

時，直線BC與平面VAB所成得角為

π

6

．

解法3：（1）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DC、DB所在的直線分別為x軸、y軸．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A(0，-

2

2

a，0)，B(0，

2

2

a，0)，C(-

2

2

a，0，0)，V(-

2

2

a，0，

2

2

atanθ)，
于是

DV

=(-

2

2

a，0，

2

2

atanθ)，

DC

=(-

2

2

a，0，0)，

AB

=(0，

2

a，0)．
從而

AB

•

DC

=(0，

2

a，0)•(-

2

2

a，0，0)=0，即AB⊥DC，
同理

AB

•

DV

=(0，

2

a，0)•(-

2

2

a，0，

2

2

atanθ)=0，即AB⊥DV．
又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）設(shè)平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z），
則由

n• AB =0 n• DV =0

得

2 ay=0 - 2 2 ax+ 2 2 aztanθ=0.

取n=（tanθ，0，1），
又

BC

=(-

2

2

a，-

2

2

a，0)，于是sin

π

6

=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

2 2 atanθ

a• 1+tan2θ

=

2

2

sinθ，
即sinθ=

2

2

．
又∵0＜θ＜

π

2

，∴θ=

π

4

．
故當(dāng)θ=

π

4

時，直線BC與平面VAB所成的角為

π

6

．

點(diǎn)評：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力