Question

7．函數(shù)f（x）=λ（x²-1）+x-a的圖象對(duì)于任意λ∈R，與x軸恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，1]．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)λ=0時(shí)，f（x）為一次函數(shù)，它的圖象與x軸恒有交點(diǎn)，得到a為全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)λ≠0時(shí)，f（x）為二次函數(shù)，就是要求二次函數(shù)恒與x軸有交點(diǎn)，即y=0時(shí)的一元二次方程λx²+x-a-λ=0恒有解即根的判別式4λ²+4λa+1恒大于等于0，即要它的根的判別式小于等于0得到關(guān)于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=λ（x²-1）+x-a，
∴f（x）=λx²+x-a-λ，
（1）λ=0時(shí)，f（x）=x-a-λ是一次函數(shù)，它的圖象恒與x軸相交，此時(shí)a∈R．
（2）λ≠0時(shí)，由題意知，方程λx²+x-a-λ=0恒有實(shí)數(shù)解，其充要條件是△=1+4λ（λ+a）=4λ²+4λa+1≥0．
又只需△′=（4a）²-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．
∴λ=0時(shí)，a∈R；λ≠0時(shí)，a∈[-1，1]．
綜上所述，a∈[-1，1]．
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生靈活運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題，會(huì)利用根的判別式判斷二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．掌握函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．