Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=f(

1

an-1

)（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）是否存在以a₁為首項(xiàng)，公比為q（0＜q＜5，q∈N^*）的數(shù)列{a_n k}，k∈N^*，使得數(shù)列{a_n k}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），知an-an-1=

2

3

．再由a₁=1，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n=2m，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-

4

3

(a2+a4++a2m)=-

4

3

×

a2+a2m

2

×m=-

1

9

(8m2+12m)=-

1

9

(2n2+6n)．當(dāng)n=2m-1，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-

1

9

(8m2+12m)+

1

9

(16m2+16m+3)=

1

9

(8m2+4m+3)=

1

9

(2n2+6n+7)．由此入手能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）由an=

2n+1

3

，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)．如存在以a₁為首項(xiàng)，公比q為2或4的數(shù)列{a_nk}，k∈N^*，此時(shí){a_nk}中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以a₁為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列{a_nk}．當(dāng)q=1時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列{a_nk}．當(dāng)q=3時(shí)，an 1=1，n₁=1，ank=3k-1=

2nk+1

3

，nk=

3k-1

2

．所以滿足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式為nk=

3k-1

2

．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="uxu3xef" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">an=f(

1

an-1

)=

2× 1 an-1 +3

3× 1 an-1

=an-1+

2

3

，（n∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=

2

3

．（2分）
因?yàn)閍₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為

2

3

的等差數(shù)列．
所以a_n=

2n+1

3

．（4分）
（2）①當(dāng)n=2m，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-

4

3

(a2+a4++a2m)=-

4

3

×

a2+a2m

2

×m=-

1

9

(8m2+12m)=-

1

9

(2n2+6n)．（6分）
②當(dāng)n=2m-1，m∈N*時(shí)，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-

1

9

(8m2+12m)+

1

9

(16m2+16m+3)=

1

9

(8m2+4m+3)=

1

9

(2n2+6n+7)．（8分）
所以T_n=

- 1 9 (2n2+6n)，n為偶數(shù) 1 9 (2n2+6n+7)，n為奇數(shù)

要使T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，
只要使-

1

9

(2n2+6n)≥tn2，（n為偶數(shù)）恒成立．
只要使-

1

9

(2+

6

n

)≥t，對(duì)n為偶數(shù)恒成立，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞，-

5

9

]．（10分）
（3）由a_n=

2n+1

3

，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)．
①如存在以a₁為首項(xiàng)，公比q為2或4的數(shù)列{a_nk}，k∈N^*，
此時(shí){a_nk}中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以a₁為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列{a_nk}．（12分）
②當(dāng)q=1時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列{a_nk}．
當(dāng)q=3時(shí)，若存在以a₁為首項(xiàng)，公比為3的數(shù)列{a_nk}，k∈N^*．
則an 1=1，n₁=1，ank=3k-1=

2nk+1

3

，n_k=

3k-1

2

．
所以滿足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式為n_k=

3k-1

2

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．