Question

已知矩陣A的逆矩陣A^-1=（

2 1 1 2

）．
（1）求矩陣A；
（2）求矩陣A^-1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：特征向量的定義

專(zhuān)題：計(jì)算題,矩陣和變換

分析：（1）利用AA^-1=E，建立方程組，即可求矩陣A；
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答： 解：（1）設(shè)A=

a b c d

，則由AA^-1=E得

a b c d

2 1 1 2

=

1 0 0 1

，
解得a=

2

3

，b=-

1

3

，c=-

1

3

，d=

2

3

，所以A=

2 3 - 1 3 - 1 3 2 3

；
（2）矩陣A^-1的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-2 -1 -1 λ-2

.

=（λ-2）²-1，
令f（λ）=（λ-2）²-1=0，可求得特征值為λ₁=1，λ₂=3，
設(shè)λ₁=1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=

x y

，
則由λ₁α=Mα，得x+y=0
得x=-y，可令x=1，則y=-1，
所以矩陣M的一個(gè)特征值λ₁=1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 -1

，
同理可得矩陣M的一個(gè)特征值λ₂=3對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．