Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，且滿足：，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線(與X軸不重合)與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，在X軸上是否存在一定點(diǎn)T，無(wú)論直線如何轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)T始終在以PQ為直徑的圓上？若有，求點(diǎn)T的坐標(biāo)，若無(wú)，說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，0）

【解析】

（1）由可知，，根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)，即可求出，由此得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分別討論直線斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，解出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量垂直的條件可得點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的點(diǎn)斜式，與橢圓聯(lián)立方程，得到關(guān)于的一元二次方程，寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，代入中進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到答案。

(1)由可知，，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，由于在橢圓中 ，所以， 解得=2，所求橢圓方程為

(2) 設(shè)， ，則 ，

①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線的方程為：，

聯(lián)立方程 ，解得: 或，故點(diǎn)，；

則 ，

由于點(diǎn)始終在以為直徑的圓上，則，解得：或，故點(diǎn)或；

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程中消去得,

由于點(diǎn)始終在以為直徑的圓上，

，

解得： ，故點(diǎn)為

綜上所述;當(dāng)時(shí)滿足條件。所以定點(diǎn)為。