Question

7．如圖，AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A，B的動點，四邊形ABCD為矩形，且AB=2，AD=1，平面ABCD⊥平面ABE．
（1）求證：BE⊥平面DAE；
（2）當(dāng)平面ABCD與平面CD E所成二面角為30°時，證明△ABE的面積為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DA⊥AB，DA⊥BE，AE⊥BE，由此能證明BE⊥平面DAE．
（2）過點E作EH⊥AB，交AB于點H，又過點H作HF⊥CD，交CD于點F，連結(jié)EF，則∠EFH平面ABCD與平面CD E所成二面角，且∠EFH=30°，在Rt△BAE中，記∠BAE=α（0＜$α＜\frac{π}{2}$），推導(dǎo)出sin2α=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，從而當(dāng)平面ABCD與平面CD E所成二面角為30°時，△ABE的面積為定值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴DA⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABE，且平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，
∵BE?平面ABE，∴DA⊥BE，
又∵AB為圓O的直徑，E是O上不同于A，B的動點，
∴AE⊥BE，
∵DA∩AE=E，∴BE⊥平面DAE．
解：（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，
過點E作EH⊥AB，交AB于點H，
則EH⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，∴EH⊥CD，
又過點H作HF⊥CD，交CD于點F，則CD⊥平面ABCD，
連結(jié)EF，∵EF?平面EFH，∴CD⊥EF，
∴∠EFH平面ABCD與平面CD E所成二面角，∴∠EFH=30°，
在Rt△BAE中，記∠BAE=α（0＜$α＜\frac{π}{2}$），
∵AB=2，∴AE=2cosα，BE=2sinα，
HE=AE•sinα=2cosαsinα=sin2α，
又FH=AD=1，
在△EHF中，tan$∠EFH=\frac{HE}{FH}=\frac{sin2α}{1}=sin2α$，
即sin2α=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AE×BE=\frac{1}{2}×2sinα×2cosα$=sin2α=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)平面ABCD與平面CDE所成二面角為30°時，△ABE的面積為定值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查空間位置關(guān)系的判斷與證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．